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杨鸿智-后现代理论医学博客

《后现代医学》、《正反馈医学》、《自体原位器官重构技术》

 
 
 

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这是一个宣传后现代理论医学的博客.后现代理论医学是以系统理论为指导的新医学.该理论认为,在生命组织中干细胞是决定机体功能状态最基本的因素.通过调节机体内环境和为干细胞提供再生所需要的物质和能量,就可以使干细胞在患者体内原位再生,实现器官重构,使器质性病变得到治疗.现在,已经在北京医药信息学会内成立了后现代理论医学专业委员会,杨鸿智是主任委员.

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(6)刘华杰:“科学”决定论的终结(1)  

2013-04-02 09:28:06|  分类: 干细胞病 |  标签: |举报 |字号 订阅

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(6)刘华杰:“科学”决定论的终结(1)

——对波普尔《后记》中一个论证的思想史考察

刘华杰(北京大学)

2008-01-02 19:12:55

http://www.douban.com/group/topic/2424202/

 

摘要:波普尔是一位笃信非决定论(indeterminism)的科学哲学家,他一生都在为此信念寻找论据,试图构造更有说服力的论证。他更是用这一信念建立其著名的政治哲学的。本文考察波普尔在长长的《后记》(Postscript)之《开放的宇宙》中所构造的对"科学"决定论的反驳,同时梳理该论证背后的科学史背景。波普尔从迪昂的著作中汲取的重要营养,构成了其反驳"科学"决定论的关键性材料。

 

 

波普尔坚持认为,科学是一种发明,一种与艺术同样意味深长、同样神秘的创造行为。“科学史充满了猜测,”波普尔说,“这是一部奇妙的历史,它使你为自己是人类的一员而充满骄傲。”他把脑袋支在伸开的双手中间,像吟诵赞美诗似地说道,"我相信人类的心智。”

 

出于同样的原因,波普尔终生都在与科学决定论的教条作斗争,认为它与人类的创造力、与自由是对立的,因而与科学自身是对立的。波普尔宣称,早在现代浑沌学家之前,他就已经认识到:不仅量子系统,就连经典的牛顿系统都具有内在的不可预测性;他曾在1950年就此论点发表过演讲。他把手对着窗外的草坪一挥,说:“每株小草里都包含着浑沌。”(霍根,1997,54-55页)

 

本文试图对波普尔著作中提出的一个“论证”进行思想史的考察,这个“论证”是波普尔一生中不断反驳决定论的一系列工作中的一个重要环节,对于确立波普尔的整个哲学体系具有重要意义,但是长期以来被学界忽略了。另外,由于有这一论证,波普尔较早领会了浑沌的意义,这是其他当代科学哲学大人物未曾做到的。

 

波普尔(Karl Popper, 1902-1994)是20世纪最伟大的科学哲学家、思想家之一。他的学术思想具有独创新、清晰性和稳定性的鲜明特点,他撰写的《研究的逻辑》(英译本为《科学发现的逻辑》)、《历史主义的贫困》(也译作《历史决定论的贫困》)、《开放社会及其敌人》《猜想与反驳》、《客观知识》等,在科学家和哲学家中引起强烈反响。爱因斯坦(A.Einsterin)、梅达沃(Peter Medawar)、埃克尔斯(John Eccles)、莫诺(J.Monod)、贡布里希(Ernst Gombrich)、哈耶克(F.A.von Hayek)、索罗斯(G.Soros)等不同领域的知名人物都宣称深受其学说的影响。2 物理学家邦迪(Hermann Bondi)甚至夸张地说:“科学中方法是最重要的,而科学方法中波普尔的科学方法是最重要的。”[转引自Simkin,1993,p.1]

 

波普尔在科学方法论上主张试错法、猜想与反驳、证伪,反对归纳主义;在其“形而上学研究纲领”(metaphysical research programme)3下,坚持实在论,同时反对各种决定论。波普尔说:“我的观点是,非决定论(indeterminism)与实在论是相容的,认识到这一事实,就使得采纳一种一致的客观主义的认识论、对整个量子理论作出客观的解释、对概率作出一种客观的解释,成为了可能。"[Popper, 1982b, p.175]波普尔所处的时代,正好是物理学基础理论大变动之际。他明确感受到物理学中的基本观念的分裂(schism),他列出了三组信念:

 

(1)非决定论与决定论;

(2)实在论与工具主义;

(3)客观主义与主观主义。

 

爱因斯坦、德布罗意、薛定谔、玻姆等是决定论者、实在论者。关于物理学理论的目的,他们是客观主义者,而关于概率论的解释,他们多少是主观主义者。玻尔、海森堡以及得到泡利和玻恩支持的正统的哥本哈根学派,则是非决定论者和工具主义者。波普尔尽管不赞成这一学派的主观主义情绪,但同情他们拒斥爱因斯坦等人的决定论。波普尔的观点与泡利的观点最接近。波普尔坚信,“非决定论与概率的倾向解释,使我们能够绘制物理世界的新图景。按照这幅图景,在此处只能描绘其大概的架构,物理世界的所有性质都是倾性的(dispositional),物理系统在任何时刻的真实状态,都可视为其倾性(或者其潜在性、可能性、倾向性)的总和。”[Popper,1982b, p.159] 波普尔指出,他的这些观念均属于其形而上学的研究纲领。4

 

波普尔是熟悉当代科学进展的少有的思想家,5他从多个角度反驳了多种形式的决定论,其中对"科学"决定论("scientific" determinism)的反驳比较有特色。从非线性科学对自然观、科学观的重新描绘的角度考虑,波普尔的讨论具有超前性,在今天仍然有重要意义。决定论与反决定论的观念由来已久,用波普尔的话讲,说到底它们都属于不可检验的形而上学,都是人们的某种信念。重要的是看人们如何为其信念进行辩护,拿出了什么样的证据。

 

本文只考察波普尔对"科学"决定论的一个关键性论据,但是,会围绕这个论据,系统讨论背后的一些关联。

 

思想传播链

 

如果说《科学发现的逻辑》是波普尔最重要的哲学著作,那么第二重要的著作还是此书。如此说话有点俏皮,情况是这样的:在20世纪80年代初《科学发现的逻辑》的"后记"(Postscript)才出版,其中包含着作者对科学形而上学极为重要的阐述。原书与"后记"合起来,完整地再现了波普尔"早期的" (既是早期也是晚期的!)科学哲学思想。这个"后记"共计828页,竟然比原著主体480页厚得多。也许这是出版史上最长的"后记"了。这样的"后记"称为"续论",才算合适。

 

早在《科学发现的逻辑》一书的第78节“非决定论的形而上学”中,波普尔就对非决定论表示了同情,认为决定论的大厦倒塌了,在其废墟上非决定论崛起了。不过,在那里波普尔并没有给出证据以说明非决定论如何成立,特别是没有从经典力学中寻找证据。这一缺陷在《开放的宇宙:对非决定论的一种论证》 (Open Universe:An Argument for Indeterminism)中完全补足了,本文的任务就是考察这一论证。实际上,该书的副标题清楚地指明了该书的内容。波普尔把它写在标题中,也意在强调此问题在其整个学说中的地位。这一卷的写作时间为1951-1956年,处于德文版《研究的逻辑》(1934)与英文版《科学发现的逻辑》(1959)出版的时段之间,据说1956-1957年被排成校样,计划与《科学发现的逻辑》同时出版,但由于某种原因6,直到1982年才正式出版,此前一直以长条校样的形式在亲近的同行和学生之间流传。

 

波普尔在《开放的宇宙》中引用了1898年"阿达马的一个结果",7[Popper,1982a, p.39]脚注中明确列出,这指的是阿达马(Jacques Salomon Hadamard,1865-1963)发表在《纯粹与应用数学杂志》第4卷上第27至73页的一篇讨论负曲率表面上测地流(geodesic flow)的文章8,同时参考了著名科学哲学家、物理学家迪昂(Pierre Duhem,1861-1916)的著作《物理学的目的与结构》中第三章"数学演绎和物理学理论"中提到的"永远不能被使用的数学演绎的例子"。9

 

阿达马的那个结果发表时,阿达马33岁,迪昂37岁,再过4年波普尔才出生。 可以推测,波普尔是通过迪昂这一名著中的介绍才知道阿达马的重要结果的,波普尔著作的脚注为此作了提示。 迪昂的光辉著作后来引起科学哲学界极大重视,成为逻辑经验主义之后科学哲学许多重要进展的思想源泉,人们特别关注了其中的"观察渗透理论"、"判决性实验不可能性"等论述,因而第六章“物理学理论与实验”得到了特别重视,女科学哲学家哈丁(Sandra G. Harding)1976年编辑的重要文集《理论能被反驳吗?》(Can Theories Be Refuted?)收录的也是这一章。但是,科学哲学界关注第三章并不多。而忽视了第三章,也就等于忽视了非线性动力学给科学哲学和科学观带来的巨大冲击。逻辑经验主义者费格尔(H.Feigl)如果仔细考虑了这一点,可能就不会给出那样的落后于自然科学当时进展的因果性定义了。[Feigl, 1953, pp.408-418]

 

布里渊(Léon Brillouin,1889-1969)101964年出版的《科学的不确定性与信息》(Scientific Uncertainty, and Information)第三章为"数学定理和物理学理论",[Brillouin,1964, pp.32-38]从标题到内容与迪昂的第三章"数学演绎和物理学理论"均十分相似,这真是惊人的巧合。仔细比较后,可以肯定地说他们讨论的内容虽然相关,结论也相似,但论证过程各自是独创的。但是都可以追溯到一个共同的渊源:庞加莱等人开创的非线性动力学研究。在信息论流行时,布里渊的《科学不确定性与信息》曾受到重视,此书英文版在中国也被影印过,但是那时人们并没有欣赏到作者更深层的思想。或许,后人发掘那些伟大的著作每一次只能品尝和理解其中的一小部分,而每一次人们似乎都自信地以为理解了全部。综合多种材料,可以找到非线性动力学浑沌思想在过去的一百多年里存在如下传播链:

 

(1)麦克斯韦(1873)→汉特(B.R.Hunt)+约克(1993)。

(2)庞加莱(1892-1899,1902)→阿达马(1898)→伯克霍夫(1912,1917,1922)→莫尔斯(1920,1921)→范德坡+斯美尔→梅+李天岩+约克→当代大批非线性动力学家。

(3)庞加莱→阿达马→迪昂(1906,1914)→波普尔(1951-1956,1982)。

(4)庞加莱+玻恩(1955)→布里渊(1962,1964)。   

 

第一条线在历史上几乎没有人注意,直到20世纪90年代人们才知道麦克斯韦或许是第一个理解浑沌的科学家。11这一条线本文作者已在一篇论文中简略介绍过,12不再重复。

 

第二条线属于自然科学界和数学界内部,是真正在科学史上发挥了影响的一支。查阅当代出版的非线性动力学浑沌的著作,都会了解到这一线索,因而这一条线相对说来广为人知。13

 

后两条线,在科学界提起的不多,它们基本上处于科学哲学的领域。相比而言第一条与后两条线都是科学史工作者和科学哲学工作者值得关注的。在寻找非线性科学的成果与当代科学哲学的"接口"时,它们的意义突显出来,给人以启示。在讨论波普尔从阿达马那里知道了什么之前,先要介绍一下阿达马与迪昂的关系。对这些内容不感兴趣的读者,可以跳过下一节。

 

阿达马与迪昂

 

在国内,心理学界和数学界经常听到阿达马这个名字。前者是因为他在创造心理学方面的论述早就介绍到了中国,后者是因为他是响当当的世界级数学家, 1936年还来清华大学讲学三个月。非常有趣的是,他还是地地道道的博物学家,他有三大爱好:(1)音乐。他与爱因斯坦会面时,谈音乐多于谈相对论。 [Maz'ya & Shaposhnikova, 1998, p.162]他还组织过家庭管弦乐队。(2)登山。作为一名杰出数学家,他到过世界的许多地方,每到一处他都找机会约朋友爬山。(3)植物。他特别喜爱蕨类植物,藏有大量标本。14 但他从不收藏他人赠送的标本。

 

阿达马1865年生于凡尔赛,1884-1888年在法国科学家与文化精英的摇篮之一巴黎高等师范学校学习。而迪昂1882年就已在高师读书。15 阿达马为gnouf(高师的行话,指新生,源于pignouf,意思是"农民"或"乡巴佬")时,迪昂已是一名cube,即大二学生。用维索 (Ernest Vessiot,1865-1952)的话说,迪昂成了阿达马"最要好的朋友",虽然迪昂年长5岁。"这种友谊对于日后引领阿达马的科学兴趣扮演着重要角色。" [Maz'ya & Shaposhnikova, 1998, p.28]

 

阿达马1927年在《论迪昂的数学成就》一文中回忆说:"从我入学高师那一时刻起,通过这种长时期宝贵的交谈,我们的友谊不断加深。他对埃尔米特(Hermite)及庞加莱的天才赞叹不已,他比我们多数人对他们的著作理解得更深刻(我的意思是他最喜欢数学)。但实际上,他熟悉当时各种重要的数学思想,熟悉各种真正富有成效的思想。从那时起,我从他那里得到范围广泛同时细节上又十分关键的诸多启发、洞见,而这些无形中或者不自觉地代替了我数月的学习。"[Maz'ya & Shaposhnikova, 1998, p.28]他们两人在交谈中可以互相学习,科学史是他们共同的爱好。阿达马对偏微分方程的兴趣,就与迪昂有关。

 

1889-1890年阿达马在圣路易(Saint-Louis)中学任编外教师,从1890年5月到1893年9月在布丰(Buffon)中学任数学教师,每周有12小时的课程。这期间他完成了博士论文《泰勒级数所定义的函数的解析开拓》(此工作奠定了复变函数论的新基础),同时遇上了一位好学生弗雷歇(Maurice Fréchet,1878-1973),后来弗雷歇成为著名数学家,在抽象空间理论、数学分析和概率论上多有建树。当时阿达马发现他有数学天赋,课后给他 "开小灶",假期也通过书信与他讨论数学问题。

 

沿着博士论文的方向前进,阿达马得到了著名的三圆定理,完善了庞加莱的一个结果,1892年出奇不意地获得法国科学院大奖。1893年与妻子一同移居葡萄酒之都波尔多。这个城市当时有25万人口,在15世纪时建有一所大学波尔多理学院。阿达马在这所学校先任讲师,讲授天文学和力学。1896年2月1日他成为天文学与理性力学教授,也就是说,他仅花了两年就被快速提升为全职教授。在波尔多,阿达马与迪昂又见面了。迪昂当时正在波尔多理学院讲物理。

 

米勒(D.G.Miller)1971年在科学传记词典中写到:"迪昂是少有的,更不用说独特的科学家,他同时对科学哲学、科学编史学和科学本身(如热力学、流体力学、弹性学、物理化学)这三个领域达到了完全专业的水准,做出了重要的贡献。"[Maz'ya & Shaposhnikova, 1998, p.64] 他的许多纯科学工作现在已经被忘掉了,但他对科学理论之本性的深刻阐述,在整个20世纪科学哲学探索中却始终处于最前沿。但事与愿违,迪昂本人更看重的是科学家这一身份,而不什么科学史家和科学哲学家!16法兰西学院曾一度为他提供科学史的教授职位,但他拒绝了,他说自己是一名物理学家,并不希望通过走后门的方式重返巴黎。1913年他成为法兰西研究院的一名非固定成员,3年后死于心脏病,终年55岁。

 

早在高师当学生时,迪昂就写了一篇论文,他在化学和物理学中提出了热力学势的概念,批评了20多年前由贝洛特(Marcelin Berthelot,1827-1907)所做的工作。迪昂是正确的,但是贝洛特很在乎名声,为了免于自己的解释受到公开质疑,他拒绝迪昂的论文。 1886年迪昂的这一结果才以书的形式出版,又用了十多年时间,他的观点才多少被学界接受。贝洛特的决定使迪昂的科学生涯蒙上阴影,从做博士论文开始一直持续到之后30年。1987年杰基(S.L.Jaki)在《不寻常的天才:迪昂的生活与工作》一书中说,如果当初迪昂不曾惹着贝洛特,他的一生就不会上演这出令人伤感的剧目了。

 

迪昂的人生经历有什么教训呢?真是一言难尽。也许,在羽翼未丰之时,人应当小心做事,别得罪大人物;也许,塞翁失马安知非福,科学界并不真的在乎一个或者多个迪昂,但科学史界和科学哲学界真的不能没有迪昂。因为自然科学界多几个迪昂对科学史并不会有根本性的改变,但科学哲学与科学史领域有没有迪昂,这两个领域的"学术地图"就需要完全重绘了。

 

阿达马当然也非常熟悉庞加莱的工作。庞加莱1912年7月17日去世,享年只有58岁,他的贡献遍及微分方程的渐近与定性理论、函数论、群论、非欧几何、流体动力学、拓扑学、数论、数学物理、天体力学、概率论、数学基础和科学哲学。阿达马的一些工作直接受到庞加莱的影响,如整函数、动力系统轨线、拓扑学与概率等。庞加莱去世不久,到1912年底,阿达马就已在杂志上发表两篇长文介绍庞加莱的工作。著名数学家莱维(Paul Lévy,1886-1976)指出,庞加莱是惊人的天才,更新了几乎所有分支的数学,只有阿达马这样博学的数学家才能在短短的一个夏天全面总结庞加莱的工作。阿达马的评论文章其中一篇有41页,另一篇有85页。1912年,阿达马在刚过完47岁生日不久,被选为法国科学院院士。后来,在许多场合人们赞扬阿达马时,有人将他比作庞加莱。但是,阿达马觉得十分不配,有时竟然真的表示气愤,认为那样对比不合适。17

有了这样的背景介绍,就不难理解迪昂在其科学哲学著作中引述阿达马的具体研究工作了。

 

负曲率表面上的测地流

 

波普尔在论述非决定论时注意到的是阿达马在动力系统方面的一个结果。从现在的眼光看,阿达马研究的是负曲率表面上测地流的动力学问题,更难对付的是有凸障碍物的台球系统,西奈(Ya.Sinai)通过极复杂的证明才得出结论。即使如此,阿达马的工作在一般人看来也不容易理解。受1889年庞加莱关于微分方程定性理论及天体力学中三体问题的工作的启发,阿达马开始研究测地线问题。测地线是指曲面上的最短线,相当于大弧。阿达马的研究结果发表于1897年18和1898年的两篇论文中。开始考虑的是正曲率表面,后来考虑的是负曲率表面,他得到了一系列结果。在测地流方面的工作代表了他对分析力学和几何学的重大贡献。

 

阿达马最终将所有测地线分成三类:(1)由封闭的测地线构成,其他测地流则渐近地趋于它们。(2)由趋于无穷的测地流构成。(3)不属于上述任何一类的第三类,测地流穿行于不同的封闭的测地流的邻域。证明第三类测地线的存在,阿达马为非线性动力学做出了惊人的贡献。他是如何做到这一点的?他采用了后来称作"符号动力学"的技术,还用到了康托三分集的概念。符号动力学的方法后来被伯克霍夫(G.D.Birkhoff,1884-1944)19、莫尔斯 (H.M.Morse,1892-1977)20、阿列克塞耶夫(V.M.Alekseev)21等所发展,现已成为探索复杂性的重要方法、工具,我国学者郝柏林、郑伟谋在这方面有系列成果。

 

阿达马证明,对于曲面上任意一点,不跑到无穷远处的测地流的初始方向集合,是完备的并且是完全不连通的。换言之,集合是闭的,没有孤立点也没有内点。这实际上就是具有分形(fractal)结构的康托集合。阿达马证明,测地流(假定它不跑向无穷)的初始方向的无穷小的改变,都会使最终的位置出现各种改变;而一条受扰动的测地流可以属于上述三种类型中的任一种。芒德勃罗伊(Szolem Mandelbrojt,1899-1983,分形之父芒德勃罗的舅舅)1972年在为科学传记词典写阿达马条目时指出,正是由于这一现象,导致阿达马提出了"不当问题"的概念。1901年阿达马首次提出"questions mal posées"的概念:"天体力学的基本问题之一是,太阳系的稳定性问题,可能就落入了'不当问题'(ill-posed questions)的类型。事实上,如果不考虑太阳系的稳定性问题,而考虑负曲率表面上测地流这样一个类似的问题,就会发现,通过对初始数据无穷小的改变,每一稳定轨线都可以变换为能通向无穷的完全不稳定的轨线。事实上,在天文学问题中,初始数据只能在一定的误差范围内得到。尽管误差可以很小,但这种误差可以导致要求的结果产生完全的、绝对的扰动。"[Maz'ya & Shaposhnikova, 1998, p.360]

 

所谓"不当",不是指人们根本不应当提出这样的问题,如天体系统是否稳定,而是指通过深入研究,事后人们才明白,实际的情况与原来所预期的情况差别较大,问题本身已经发生了转变。对于天体力学系统,到底稳定还是不稳定?目前的研究成果显示,既稳定也不稳定!好像是在讲辩证法,但数理科学的研究结果的确如此。即使像太阳系这样的天体力学系统,我们也无法在二分法的意义证明它是稳定的还是不稳定的,长期行为在几何上比我们原来预期的要复杂得多。庞加莱无疑最先在理论上发现了这一点。到了20世纪中期,科尔莫哥洛夫提出KAM定理,这件事才算基本明确下来,即原来的"稳定性"概念本身就需要细化,要得出明确的结果需要附加其他条件。最终,原来的数学模型用于讨论实在的物理问题(实际的天体系统就是其一)时,不会是无限制有效的。对于极长期的行为,这类高度简化的力学模型本身就不合适了,它从数学角度所给出的动力学预言,已经没有物理意义了。这涉及"轨道"概念的若干哲学问题,布鲁塞尔学派有所论及,这里不展开讨论。

 

迪昂1906年在《物理学的目的与结构》中把阿达马的结果进行了更形象化的解释,并上升到科学哲学的层面做了一般性的表述。迪昂的确由此清醒地看到了数学模型演绎功能的限度。《物理学的目的与结构》第三章"数学演绎和物理学理论"讨论的全是这一件事,这是空前绝后的阐发:前人没有想到,后人本质上也难出其右。但由于迪昂的这一思想并没有被科学哲学界广泛吸收,今天仍然有仔细回顾的必要。

 

迪昂说,阿达马考虑的是一种非常简单的力学系统(用今天的话讲是一个简单的动力系统),从数学的角度看,这是一种确定性的系统,只要初始条件确定,随后质点在运动中所遵循的测地线就毫无含糊地被确定了。但是,“倘使初始条件不是数学地给定的而是实际地给定的,情况将迥然不同:我们的质点的初始位置将不再是该面上的一个确定的点,而是包含在一个小斑点内的一些点;初始速度的方向将不再是毫不含糊地确定的直线,而是包括在由小斑轮廓连结起来的窄束内的线中的某一条;对几何学家来说,我们在实际中确定的初始条件对应于不同初始条件的无限复合。”[迪昂,1999,158页] 于是,理论上一个处于所研究表面上的质点,只要初始位置和速度给定,那么数学演绎能够决定质点的轨迹。“但是,对物理学家来说,这个演绎永远不能实现。事实上,当数据在几何学上不再已知,但是却由物理学程序像我们假定的那样精确地决定,所提出的问题依然是、并将总是没有答案的。”[迪昂,1999,159页] 迪昂透彻理解了阿达马论文的科学哲学含义,在阐述了数学推导与物理解释之间巨大的鸿沟的基础上,还回答"测度"问题和具体"实例"问题。

 

对我们而言,我们刚才分析过的例子在我们所说最简单的问题之一上获得成功,人们在力学即最少复杂性的物理学理论中必须处理这个问题。这种极端的简单性容许阿达马透彻地深入研究充分暴露出某些数学演绎绝对不可挽回的物理无用性的问题。在许多比较复杂的问题中,如果有可能足够近似地分析解答,那么我们不会遇到那种诱惑人的结论吗?对这个问题的回答几乎是毋庸置疑的;数学科学的进步无疑将向我们证明,对数学家来说充分定义的众多问题,对物理学家而言却丧失了它们的全部意义。[迪昂,1999,159页]

 

这段话讲述了这样几个问题:

 

(1)力学系统,特别是阿达马所讨论的那个系统,在自然科学中尚属于简单的。的确如此,因为力学只研究哲学意义上的"运动 ",对于"变化"和"发展"是不讨论的。

 

(2)阿达马在此简单系统中发现了复杂性,它的结果表明数学与物理有时难以一致。这样的结果在20世纪80年代被大量重复,这时研究的主要是一维逻辑斯蒂(logistic)映射、伯努利移位系统、洛伦兹模型、范德坡方程、杜芬方程等。

 

(3)科学进一步发展后,我们仍然无法回避上述问题。这一点是十分关键的。如果阿达马揭示的问题仅仅属于数学或者物理学发展的某一个阶段,那么这个问题也许不够重要。但事实上,这样的问题永远存在。

 

对末句“丧失了它们的全部意义”,可能要稍作解释。不应当把这句话理解成数学对于物理将毫无用处,事实上正是通过数学的发展,物理学才不断进步、深化,甚至认识到这个问题本身的存在性的。反过来也一样,物理学也促进数学的发展。迪昂说得如此绝对,可能只是想表明问题的严重性和不可消除性。对某个具体系统,在一定历史阶段,某个数学推导得出的结论可能完全没有物理意义,但并不能说对此系统的任何别的数学建模所得出的数学结果也没有物理含义。这个问题比较微妙,最终也涉及无法证伪的形而上学信念。

 

接着,迪昂举了天体力学的例子,即N体问题或者三体问题。迪昂很熟悉拉普拉斯和庞加莱的相关研究,深知此问题的复杂性。迪昂对太阳系统的稳定性,讲出一段略有争议的话,至少波普尔表示了一点疑问。

 

太阳系的稳定性问题对数学家来说肯定有意义,因为天体的初始位置和速度在他看来是以数学精确性已知的要素。但是,对于天文学家来说,这些要素只能通过包含误差的物理程序来决定,而误差则由于仪器和测量方法的改进而逐渐减小,但永远不会消除。因而,情况必然是,太阳系的稳定性问题对天文学家来说是一个完全没有意义的问题;他给数学家提供的实际数据对后者来说等价于彼此邻近、但却依然不同的无限的理论数据。也许在这些数据中间,存在着一些会永久地维持所有天体相互处于一定距离的数据,而其他数据则会把这些天体中的某一个抛入广漠的空间。如果类似于阿达马问题所提供的这样的境况应该在这里出现的话,那么与太阳系的稳定性有关的数学演绎也许对物理学家来说是他永远也不能够使用的演绎。[迪昂,1999,160-161页]

 

这段话把动力学不稳定性与天体系统的稳定性联系起来了,如果再结合19世纪和20世纪大批数学家、天体力学家对N体问题的持久研究,结果非常有趣也相当复杂。到目前为止《天遇:混沌与稳定性的起源》一书是对相关内容最精辟的介绍。上面一段话将结合波普尔的评论再做评论。从《开放的宇宙》可知,波普尔是仔细研究过迪昂在这一章中的论述的,而且很可能正是受了这一启发,波普尔构造了《开放的宇宙》中一半以上的关键性论证的。

 

波普尔对阿达马的引用与评论

 

《开放的宇宙》共四章,另外有三个附录。四章正文讨论的全是决定论与非决定论,论证比较严密。波普尔对相关问题的基本观点早就有了,而且后来几乎一直保持不变,因此重要的不是他相信什么不相信什么,而是他给出了什么样的关键性证据。出现于第二章第14节的"阿达马的一个结果"就属于十分关键性的证据。

 

阿达马在1898年发表的一篇有趣的论文中讨论了一个简单的力学问题:质点以恒定的速度沿无限弯曲表面的测地线的运动。测地线指最短线,这里的弯曲表面是一种特殊类型,具有变化的负曲率,还假定没有不连续的情况。阿达马假定初始位置绝对精确地给定,他容许运动的初始方向在角度α内变化。他证明会有若干轨迹类型,特别是有:

 

(1)轨道或者闭合的轨迹,包括那些渐近闭合的曲线,始于其上的点在运动中将永远与初始点保持有限的距离。

 

(2)通向无穷的轨线,足够长的时间后,在其上运动的点与初始点的距离将会超出任何给定的值。[Popper,1982a,p.39]

 

在此处波普尔加了第2个脚注。此节中他共加了4个脚注,均十分重要。第一个脚注标出了他此节的内容来自阿达马1898年的论文,同时标明“另参见迪昂《物理学理论的目的与结构》第139页。”此处的第2个脚注内容是:“阿达马区分了第三种类型的测地线,即边界的情形,此处我们不必关注它。”从现在的眼光看,阿达马专门区分出这第三种类型是十分英明的,但无论迪昂还是波普尔都没有把它太当回事。这说明他们还有相当的局限性,他们如果经历了后来的非线性动力学热,就会格外重视这第三种类型。这第三种类型涉及极复杂的"边界线"或者扰动的情况,称"线"已经不合适,因为它构成一种你中有我、我中有你的复杂区域,现在称作"分形吸引域"。在这里,同宿轨道与异宿轨道的内部结构极为复杂,形成密集的难以想像的格栅。当年庞加莱想像到了,因为没有计算机数值计算,他也无法实际上画出来,他只是说“太复杂了我都不想把它画出来了”。非线性动力系统的真正奥秘在这第三种类型中展现得无比彻底,现代动力系统学家对此都深有体会。

 

当然,仅从前两种类型,也能进行分析。只是波普尔说的"不必关注"有些过头,事实上他并不十分清楚(阿达马在那个时代也不特别清楚),也没法仔细地关注。波普尔对阿达马论文的核心内容理解得还是准确的,波普尔意识到了初始条件的"分形"特征(用现在的词语,那时没有这个概念)。

 

我们考虑两个不同的闭合轨迹,它们是由邻近的、不同的初始方向演化出来的,初始方向之间的夹角为α。阿达马证明,即使我们让角度α如我们愿意的任意小,从此α角内(也就是说从我们可以选择的任何两个不同的闭合轨道内)仍然能够找到那样的初始点,其轨迹会通向无穷。

 

但是这意味着,对轨迹初始方向的测量,无论如何精确(某种绝对的数学精确性),都不能确定一个质点是在一条轨道上运动还是在最终通向了无穷的一条轨线上运动。当然,初始位置绝对精确地给定这样的假设,更是不现实的。换言之,这意味着,我们没法确定质点会以第一种方式运动还是以第二种方式运动,前者指质点运动中距起始点不超过某有限值,后者指质点会稳定地增加它与起始点的距离,最终跑向无穷。[Popper,1982a, pp.39-40]

 

上述两段说的是初始条件的分形特征。我们可以把初始条件换成[0,9]线段更简明地描述一遍。设A和B是线段[0,9]中任意两个初始点。假定由A出发,在动力学规则的作用下,它最后演化出的轨迹是闭合的轨道,而由B出发最后得到的是发散的通向无穷的轨迹。这说明A和B是不同类的初始点。下一步是在A 的附近找一个与A同类的点A1,假定A1大于A,A和A1形成一个小区间[A,A1],现在我们就专门考察这个小区间,它就相当于上述的α角。阿达马的证明相当于,我们在[A,A1]中总是可以找到与A和A1不同类的点,由那样的点出发,经动力学规则的作用最终得到发散的轨迹。那么是不是这个区间[A, A1]太大了呢?也许是,但是,无论把它变得如何小,我们仍然能够找到不同类的点!比如说我们再在A的更小的邻域内找到同类点A2,现在考虑更小的区间 [A,A2],在此内部,仍然会发现"敌人",即不同类的初始点。即使我们考虑[A,A3,]、[A,A4]、[A,An]等,也无济于事。当然,这只是一种理想化的、简化的、示意性的描述,实际情况比这要复杂。

 

 

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